Stiefel流形上的优化问题广泛应用于科学工程计算与数据科学的诸多领域，例如电子结构计算、线性特征值问题、低秩相关系数矩阵问题、稀疏主成分分析等。采用黎曼优化算法求解此类问题能够充分利用可行域的几何特性。基于黎曼优化的基本框架，发展高效的针对Stiefel流形的一阶优化方法和技术，取得了以下成果。（1）揭示了矩阵指数及其逼近的相关几何性质。探讨了矩阵指数与黎曼指数映射、回拉映射之间的关系，发现了基于矩阵指数有理逼近形式的回拉公式，并将Krylov子空间技术应用于新的回拉公式。（2）提出一种新颖的黎曼共轭梯度算法。发现了两种满足Ring-Wirth非扩张条件的向量迁移公式，其中一种还是等距迁移。新的向量迁移克服了传统QR分解和极分解的理论缺陷，即因不满足Ring-Wirth非扩张条件而无法确保全局收敛，而且在低秩情形和前两种方法具有同阶的计算复杂度。又将戴彧虹教授的非单调共轭梯度方向推广到一般黎曼流形上，证明了新算法的全局收敛性。初步数值结果证实了新算法的潜在价值。
该项目已获得国家自然科学基金立项支持。
数理学院 竺筱晶